Runge Kutta Method order 2

微分方程式y'=y； y(0)=1

Ans:

使用Runge Kutta Method order 2:

Runge-Kutta Method通式：

y'＝f(x,y)

x_i=x₀+ih,i=0,1,2…

y_k+1＝y_k＋(1/2)．(k₁+k₂)

其中

k₁=h．f(x_k,y_k)

k₂=h．f(x_k＋h,y_k＋k1)

假設h=0.5(漸進步距)

所以：

y'＝f(x,y)＝y

y(0)＝1，換句話說y₀＝1

x₁=x₀+i×h=0+1×0.5=0.5

k₁＝h×f(x₀,y₀)＝0.5×f(0,1)=0.5×1=0.5

k₂＝h×f(x₀＋h,y₀＋k₁)＝0.5×f(0＋0.5,1＋0.5)=0.5×f(0.5,1.5)=0.5×1.5=0.75

其中f(x,y)=y，帶入x=0,y=1進f(x,y)中，得f(0,1)=1

--> y₁＝y₀＋(1/2)×(k₁+k₂)=1+(1/2)×(0.5+0.75)=1.625

x₂=x₀+i×h=0+2×0.5=1.0

k₁＝h×f(x₁,y₁)＝0.5×f(0.5,1.625)=0.5×1.625=0.8125

k₂＝h×f(x₁＋h,y₁＋k₁)

＝0.5×f(0.5＋0.5,1.625＋0.8125)

＝0.5×f(1,2.4375)=0.5×2.4375=1.2188

-->y₂＝y₁＋(1/2)×(k₁+k₂)=1.625+(1/2)×(0.8125+1.2188)=2.6406

對正式解而言，前述y’=y，y(0)=1的通解是y=e^x：

1. y(0)=1

2. y(0.5)=1.6487，經由Runge-Kutta方法計算的y1=1.625，

誤差率＝(1.6487-1.625)/1.625=1.46%

3.y(1)=2.71828，經由Runge-Kutta方法計算的y2=2.6406，

誤差率＝(2.71828-2.6406)/2.6406=2.94%